【拉氏变换常用公式】拉普拉斯变换（Laplace Transform）是工程数学中一种重要的积分变换方法，广泛应用于控制系统、信号处理、电路分析等领域。它能够将时域中的微分方程转化为复频域中的代数方程，从而简化问题的求解过程。为了方便应用，以下总结了一些常用的拉普拉斯变换公式。
一、基本定义
设函数 $ f(t) $ 在 $ t \geq 0 $ 区间内有定义，则其拉普拉斯变换定义为：
$$
F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt
$$
其中，$ s $ 是复数变量。
二、常用拉氏变换公式表
| 函数 $ f(t) $ | 拉氏变换 $ F(s) $ | 条件 |
| $ 1 $ | $ \frac{1}{s} $ | $ \text{Re}(s) > 0 $ |
| $ t $ | $ \frac{1}{s^2} $ | $ \text{Re}(s) > 0 $ |
| $ t^n $ | $ \frac{n!}{s^{n+1}} $ | $ n = 0,1,2,\ldots $; $ \text{Re}(s) > 0 $ |
| $ e^{at} $ | $ \frac{1}{s - a} $ | $ \text{Re}(s) > \text{Re}(a) $ |
| $ \sin(\omega t) $ | $ \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} $ | $ \text{Re}(s) > 0 $ |
| $ \cos(\omega t) $ | $ \frac{s}{s^2 + \omega^2} $ | $ \text{Re}(s) > 0 $ |
| $ e^{at} \sin(\omega t) $ | $ \frac{\omega}{(s - a)^2 + \omega^2} $ | $ \text{Re}(s) > \text{Re}(a) $ |
| $ e^{at} \cos(\omega t) $ | $ \frac{s - a}{(s - a)^2 + \omega^2} $ | $ \text{Re}(s) > \text{Re}(a) $ |
| $ t^n e^{at} $ | $ \frac{n!}{(s - a)^{n+1}} $ | $ n = 0,1,2,\ldots $; $ \text{Re}(s) > \text{Re}(a) $ |
| $ \delta(t) $ | $ 1 $ | —— |
| $ u(t) $ | $ \frac{1}{s} $ | —— |
三、说明与注意事项
1. 单位阶跃函数 $ u(t) $：表示从 $ t=0 $ 开始起作用的函数，常用于描述系统初始条件。
2. 单位冲激函数 $ \delta(t) $：在 $ t=0 $ 处具有无穷大的值，但面积为1，常用于系统响应分析。
3. 收敛域（ROC）：不同的函数对应的拉氏变换存在不同的收敛区域，这是进行逆变换和系统稳定性分析的重要依据。
4. 线性性质：拉氏变换满足线性性，即：
$$
\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)
$$
四、小结
拉普拉斯变换是解决线性时不变系统问题的有效工具，掌握其常用公式对于理解系统行为、进行控制设计和信号分析至关重要。本文整理了常见的拉氏变换公式，并附上简要说明，供学习和参考使用。实际应用中，还需结合具体问题选择合适的变换方法和公式。