【分部积分怎么算】在微积分中，分部积分法是一种重要的求解不定积分和定积分的方法。它类似于乘法的逆运算，适用于被积函数为两个函数相乘的情况。通过合理选择两个函数中的一个作为“u”，另一个作为“dv”，可以将原积分转化为更简单的形式。
一、分部积分的基本公式
分部积分的公式如下：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
其中：
- $ u $ 是一个可微函数；
- $ dv $ 是一个可积函数；
- $ du $ 是 $ u $ 的微分；
- $ v $ 是 $ dv $ 的积分。
二、使用分部积分的步骤
1. 选择 u 和 dv
根据被积函数的形式，合理选择哪一部分作为 $ u $，哪一部分作为 $ dv $。通常选择导数简单或易于积分的部分作为 $ u $。
2. 计算 du 和 v
对 $ u $ 求导得到 $ du $，对 $ dv $ 积分得到 $ v $。
3. 代入公式
将 $ u $、$ v $、$ du $ 代入公式，进行计算。
4. 简化并求解
得到新的积分表达式后，继续处理，直到可以求出结果为止。
三、分部积分的应用场景
| 应用场景 | 示例 |
| 三角函数与多项式的乘积 | $\int x \sin x \, dx$ |
| 指数函数与多项式的乘积 | $\int x e^x \, dx$ |
| 对数函数与多项式的乘积 | $\int \ln x \, dx$ |
| 三角函数与指数函数的乘积 | $\int e^x \cos x \, dx$ |
四、分部积分常见技巧
| 技巧 | 说明 |
| 循环积分 | 当多次应用分部积分后，出现原始积分，可通过移项求解。 |
| 优先选择多项式函数作为 u | 多项式求导后次数降低，便于计算。 |
| 注意符号变化 | 分部积分过程中需特别注意负号的处理。 |
五、分部积分法总结表
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 识别被积函数是否适合使用分部积分法 |
| 2 | 选择合适的 $ u $ 和 $ dv $ |
| 3 | 计算 $ du $ 和 $ v $ |
| 4 | 代入公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$ |
| 5 | 简化并求解新的积分 |
| 6 | 检查结果是否正确（可通过求导验证） |
六、实例演示
以 $\int x \cos x \, dx$ 为例：
1. 设 $ u = x $，$ dv = \cos x \, dx $
2. 则 $ du = dx $，$ v = \sin x $
3. 代入公式得：
$$
\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C
$$
七、注意事项
- 分部积分不是万能的，有些积分可能需要结合其他方法（如换元法）。
- 需要多练习不同类型的题目，熟悉各种组合方式。
- 在考试或实际应用中，建议先尝试换元法或其他方法，再考虑分部积分。
通过掌握分部积分法的基本原理和使用技巧，可以更高效地解决复杂的积分问题。希望本篇内容能帮助你更好地理解并运用这一重要数学工具。