【等差数列和等比数列公式】在数学中，等差数列与等比数列是两种常见的数列类型，它们在数列求和、通项计算等方面有着广泛的应用。以下是对这两种数列的基本公式的总结，并通过表格形式进行清晰展示。
一、等差数列
等差数列是指每一项与前一项的差为一个常数的数列，这个常数称为公差（d）。
1. 通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ a_n $ 表示第 n 项；
- $ a_1 $ 表示首项；
- $ d $ 表示公差；
- $ n $ 表示项数。
2. 前 n 项和公式：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
或
$$
S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ S_n $ 表示前 n 项的和。
二、等比数列
等比数列是指每一项与前一项的比为一个常数的数列，这个常数称为公比（r）。
1. 通项公式：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n - 1}
$$
其中：
- $ a_n $ 表示第 n 项；
- $ a_1 $ 表示首项；
- $ r $ 表示公比；
- $ n $ 表示项数。
2. 前 n 项和公式：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)
$$
若 $ r = 1 $，则所有项都相等，此时：
$$
S_n = n \cdot a_1
$$
三、对比表格
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每两项之差为常数 | 每两项之比为常数 |
| 公差 / 公比 | $ d $ | $ r $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $ |
| 前 n 项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \ne 1 $） $ S_n = n \cdot a_1 $（$ r = 1 $） |
四、总结
等差数列与等比数列是数列研究中的两个重要模型，分别适用于不同的实际问题。理解它们的通项公式和求和公式，有助于快速解决相关数学问题。在实际应用中，应根据题目给出的条件选择合适的公式进行计算。