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四面体体积公式1/6abc如何推导(四面体体积公式)

凌庆鹏
导读 大家好,我是小跳,我来为大家解答以上问题。四面体体积公式1/6abc如何推导,四面体体积公式很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!1、...

大家好,我是小跳,我来为大家解答以上问题。四面体体积公式1/6abc如何推导,四面体体积公式很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!

1、利用三面角的第一余弦定理以及三角形的余弦定理就可以得到公式,不过公式比较烦琐 四面体ABCD的体积是V,AB=a,AC=b,AD=c,CD=p,DB=q,BC=r,设P1=(ap)2(–a2+b2+c2–p2+q2+r2),P2=(bq)2(a2–b2+c2+p2–q2+r2),P3=(cr)2(a2+b2–c2+p2+q2–r2),P=(abr)2+(acq)2+(bcp)2+(pqr)2,则V=√(P1+P2+P3–P)/12。

2、 <正> 平面几何中,有一个叫做海伦——秦九韶的三角形面积公式 S_△=(p(p-a)(p-b)(p-c))~(1/2), 其中a、b、c是三角形三边的长,p是周长的一半。

3、有趣的是,在立体几何中,也有一个与之相类似的四面体体积公式 V四面体=1/3abc··(sinωsin(ω-α)sin(ω-β)sin(ω-γ))~(1/2),①其中a、b、c是共顶点的三条棱的长,α、β、γ是相邻棱组成的面角,ω是这三个面角和的一半。

4、公式①的证明: 设四面体M—ABC中,MA=a,MB=b,MC=c,∠AMB=α,∠BMC=β,∠CMA=γ。

5、作BO⊥平面MAC,垂足为O。

6、作OA′⊥MA,垂足为A′。

7、作OC′⊥MC,垂足为C′。

8、连结BA′、BC′,则BA′⊥MA,