【哪个函数的导数是arctanx】在微积分中，求一个函数的导数是一个常见的问题，但有时候我们也会反过来思考：哪一个函数的导数是 arctanx？ 这个问题看似简单，实则涉及到反导数（即不定积分）的概念。本文将从基础出发，总结出哪些函数的导数可以得到 arctanx，并通过表格形式清晰展示。
一、基本概念回顾
我们知道，arctanx 是一个常见的反三角函数，其定义域为全体实数，值域为 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$。它的导数为：
$$
\frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}
$$
但本题的问题是：哪个函数的导数是 arctanx？ 也就是说，我们要找的是 arctanx 的原函数，即：
$$
\int \arctan x \, dx = ?
$$
二、求解过程简述
要找到导数为 arctanx 的函数，我们需要对 arctanx 进行不定积分。使用分部积分法，设：
- $ u = \arctan x $，则 $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $
- $ dv = dx $，则 $ v = x $
根据分部积分公式：
$$
\int \arctan x \, dx = x \cdot \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx
$$
接下来计算第二个积分：
$$
\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
因此，
$$
\int \arctan x \, dx = x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
三、总结与表格展示
| 原函数 | 导数 |
| $ x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ | $ \arctan x $ |
四、结论
综上所述，导数为 arctanx 的函数是：
$$
x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
其中，C 是积分常数。这个结果可以通过分部积分法得出，是微积分中常见的不定积分问题之一。
注：如果你需要更具体的数值例子或应用背景，也可以进一步探讨。