【多项式除法运算】在代数中，多项式除法是一种基本的运算方式，用于将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。这种运算类似于整数的除法，但涉及的是变量和系数的组合。掌握多项式除法不仅有助于理解多项式的结构，还能在解方程、因式分解等方面发挥重要作用。
一、多项式除法的基本概念
- 被除式：即被除的多项式，通常记为 $ f(x) $。
- 除式：即用来除的多项式，通常记为 $ g(x) $。
- 商：即除法的结果，记为 $ q(x) $。
- 余数：即无法再被除式的部分，记为 $ r(x) $。
根据多项式除法定理，有：
$$
f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)
$$
其中，$ \deg(r(x)) < \deg(g(x)) $，即余式的次数低于除式的次数。
二、多项式除法的步骤
1. 按降幂排列：将被除式和除式都按照变量的降幂排列。
2. 首项相除：用被除式的首项除以除式的首项，得到商的第一项。
3. 乘积减去：将得到的商项与除式相乘，然后从被除式中减去这个乘积。
4. 重复步骤：重复上述过程，直到余式的次数小于除式的次数为止。
三、多项式除法示例
以下是一个具体的例子，展示如何进行多项式除法运算：
| 步骤 | 操作 | 结果 |
| 1 | 被除式：$ x^3 - 2x^2 + 3x - 4 $ 除式：$ x - 1 $ | — |
| 2 | 首项相除：$ \frac{x^3}{x} = x^2 $ | 商：$ x^2 $ |
| 3 | 乘积减去：$ x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2 $ 从被除式中减去：$ (x^3 - 2x^2 + 3x - 4) - (x^3 - x^2) = -x^2 + 3x - 4 $ | 新被除式：$ -x^2 + 3x - 4 $ |
| 4 | 首项相除：$ \frac{-x^2}{x} = -x $ | 商：$ x^2 - x $ |
| 5 | 乘积减去：$ -x \cdot (x - 1) = -x^2 + x $ 从当前被除式中减去：$ (-x^2 + 3x - 4) - (-x^2 + x) = 2x - 4 $ | 新被除式：$ 2x - 4 $ |
| 6 | 首项相除：$ \frac{2x}{x} = 2 $ | 商：$ x^2 - x + 2 $ |
| 7 | 乘积减去：$ 2 \cdot (x - 1) = 2x - 2 $ 从当前被除式中减去：$ (2x - 4) - (2x - 2) = -2 $ | 余数：$ -2 $ |
最终结果为：
$$
\frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 4}{x - 1} = x^2 - x + 2 \quad \text{余} -2
$$
四、总结
多项式除法是代数运算中的重要内容，通过逐步进行首项相除、乘积减去等操作，可以求得商和余数。它在多项式因式分解、函数分析、方程求解等方面具有广泛的应用。
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数 |
| 公式 | $ f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x) $ |
| 步骤 | 1. 排列；2. 首项相除；3. 乘积减去；4. 重复至余式次数低 |
| 示例 | $ \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 4}{x - 1} = x^2 - x + 2 $ 余 $ -2 $ |
通过系统学习和练习，可以熟练掌握多项式除法的操作方法，提升代数运算能力。