【二项分布是什么】二项分布是概率论与统计学中一种常见的离散概率分布，用于描述在独立重复试验中成功次数的概率分布。它适用于每次试验只有两种可能结果（通常称为“成功”或“失败”）的情况，并且每次试验的成功概率相同。
一、二项分布的定义
设一个实验进行 n 次独立重复，每次实验成功的概率为 p，失败的概率为 1 - p。那么，在这 n 次试验中出现 k 次成功的概率，服从二项分布，记作：
$$
X \sim B(n, p)
$$
其中：
- $ X $ 表示成功次数；
- $ n $ 是试验次数；
- $ p $ 是单次试验成功的概率。
二、二项分布的概率质量函数（PMF）
二项分布的概率质量函数为：
$$
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
$$
其中：
- $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} $ 是组合数；
- $ k = 0, 1, 2, ..., n $
三、二项分布的性质
| 属性 | 描述 |
| 均值（期望） | $ E(X) = np $ |
| 方差 | $ Var(X) = np(1 - p) $ |
| 标准差 | $ \sqrt{np(1 - p)} $ |
| 取值范围 | $ X = 0, 1, 2, ..., n $ |
| 独立性 | 每次试验相互独立 |
| 二元结果 | 每次试验只有两种可能结果 |
四、二项分布的应用场景
| 场景 | 说明 |
| 投掷硬币 | 正面朝上的次数 |
| 质量检测 | 合格产品数量 |
| 医疗试验 | 治愈人数 |
| 营销预测 | 客户购买概率 |
| 随机抽样 | 成功样本数量 |
五、二项分布与正态分布的关系
当 n 较大，且 p 不接近 0 或 1 时，二项分布可以用正态分布近似。此时，可以使用正态分布的均值和方差来估算二项分布的概率。
六、总结
二项分布是一种用于描述独立重复试验中成功次数的概率分布模型。它具有明确的数学公式和广泛应用场景，是统计学中的基础概念之一。理解二项分布有助于我们更好地分析和预测现实世界中的一些随机事件。
| 项目 | 内容 |
| 名称 | 二项分布 |
| 类型 | 离散概率分布 |
| 适用条件 | 独立重复试验、每次试验结果只有两种 |
| 公式 | $ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} $ |
| 均值 | $ np $ |
| 方差 | $ np(1 - p) $ |
| 应用 | 投掷、检测、预测等 |
通过以上内容，我们可以对二项分布有一个全面的理解，为进一步学习统计学打下坚实的基础。