【概率论公式总结大全】概率论是数学的一个重要分支，广泛应用于统计学、机器学习、金融、工程等多个领域。为了帮助学习者更好地掌握概率论的核心概念和公式，本文对常见的概率论公式进行了系统整理，以文字说明结合表格的形式呈现，便于查阅与记忆。
一、基本概念
1. 样本空间（Sample Space）
所有可能结果的集合，记作 $ S $。
2. 事件（Event）
样本空间的一个子集，表示某些结果的集合，记作 $ A, B, C $ 等。
3. 概率（Probability）
表示事件发生的可能性大小，记作 $ P(A) $，满足：
- $ 0 \leq P(A) \leq 1 $
- $ P(S) = 1 $
- 若 $ A \cap B = \emptyset $，则 $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $
4. 条件概率（Conditional Probability）
在事件 $ B $ 发生的前提下，事件 $ A $ 发生的概率，记作 $ P(A
$$
P(A
$$
5. 独立事件（Independent Events）
若 $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $，则称事件 $ A $ 和 $ B $ 是独立的。
6. 全概率公式（Law of Total Probability）
若事件 $ B_1, B_2, \ldots, B_n $ 是互斥且穷举的，则对任意事件 $ A $，有：
$$
P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A
$$
7. 贝叶斯公式（Bayes’ Theorem）
用于计算条件概率的逆概率，公式如下：
$$
P(B_i
$$
二、随机变量及其分布
1. 离散型随机变量
| 名称 | 概率质量函数（PMF） | 数学期望（均值） | 方差 |
| 二项分布 $ X \sim B(n, p) $ | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ X \sim \text{Poisson}(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 几何分布 $ X \sim \text{Geometric}(p) $ | $ P(X=k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
2. 连续型随机变量
| 名称 | 概率密度函数（PDF） | 数学期望 | 方差 |
| 均匀分布 $ X \sim U(a,b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \leq x \leq b $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 $ X \sim \text{Exp}(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
三、期望与方差
| 公式 | 说明 |
| $ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $（连续） $ E[X] = \sum_{x} x P(X=x) $（离散） | 随机变量的期望值 |
| $ \text{Var}(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2 $ | 方差，衡量数据的离散程度 |
| $ \text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] $ | 协方差，衡量两个变量之间的相关性 |
| $ \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\text{Var}(Y)}} $ | 相关系数，取值范围为 [-1, 1] |
四、大数定律与中心极限定理
1. 大数定律（Law of Large Numbers）
当样本容量 $ n $ 趋于无穷时，样本均值趋于总体期望：
$$
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \xrightarrow{P} E[X
$$
2. 中心极限定理（Central Limit Theorem）
对于独立同分布的随机变量 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $，当 $ n $ 足够大时，其样本均值近似服从正态分布：
$$
\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)
$$
五、常用概率模型
| 模型名称 | 应用场景 | 特点 |
| 二项分布 | 多次独立伯努利试验 | 成功次数计数 |
| 泊松分布 | 稀有事件发生次数 | 适用于小概率事件 |
| 正态分布 | 自然现象、测量误差 | 对称分布，广泛应用 |
| 指数分布 | 事件发生时间间隔 | 描述无记忆性过程 |
结语
概率论是理解不确定性的重要工具，掌握其核心公式有助于在实际问题中进行建模与分析。通过本文的总结，希望读者能够更加清晰地理解概率论的基本概念与常用公式，并在学习和实践中灵活运用。