【一元二次不等式】一元二次不等式是初中和高中数学中的重要内容，通常形式为 $ ax^2 + bx + c > 0 $ 或 $ ax^2 + bx + c < 0 $（其中 $ a \neq 0 $）。这类不等式的解法主要依赖于二次函数的图像性质和判别式的分析。掌握其解法有助于解决实际问题，如优化、范围判断等。
一、一元二次不等式的定义与基本形式
一元二次不等式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式。常见的形式有：
| 不等式形式 | 说明 |
| $ ax^2 + bx + c > 0 $ | 二次项系数为正时，开口向上 |
| $ ax^2 + bx + c < 0 $ | 二次项系数为负时，开口向下 |
| $ ax^2 + bx + c \geq 0 $ | 包含等于的情况 |
| $ ax^2 + bx + c \leq 0 $ | 同上 |
二、解一元二次不等式的步骤
1. 求出对应的方程的根：即解 $ ax^2 + bx + c = 0 $，可以通过求根公式或因式分解。
2. 画出二次函数图像：根据判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $ 判断根的个数。
3. 确定不等式的解集：根据抛物线的开口方向和根的位置，判断不等式成立的区间。
三、不同情况下的解集分析
| 判别式 $ \Delta $ | 根的情况 | 不等式 $ ax^2 + bx + c > 0 $ 的解集 | 不等式 $ ax^2 + bx + c < 0 $ 的解集 |
| $ \Delta > 0 $ | 两个不同实根 | $ x < x_1 $ 或 $ x > x_2 $ | $ x_1 < x < x_2 $ |
| $ \Delta = 0 $ | 一个实根（重根） | $ x \neq x_1 $ | 无解 |
| $ \Delta < 0 $ | 无实根 | 全体实数（若 $ a > 0 $） | 无解（若 $ a > 0 $） |
> 注：若 $ a < 0 $，则开口方向相反，需对解集进行调整。
四、常见错误与注意事项
- 忽略二次项系数的正负影响，导致解集方向错误；
- 没有正确计算判别式，导致根的判断错误；
- 忘记考虑等号的情况（如 $ \geq $ 或 $ \leq $），从而漏掉端点；
- 在分段讨论时，没有合理划分区间。
五、应用举例
例题：解不等式 $ x^2 - 5x + 6 > 0 $
解法：
1. 解方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $，得 $ x = 2 $ 和 $ x = 3 $；
2. 抛物线开口向上，因此不等式成立的区域为 $ x < 2 $ 或 $ x > 3 $。
答案：$ x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) $
六、总结
一元二次不等式的解法关键在于理解二次函数的图像特征，结合判别式和开口方向来判断解集。掌握好这一部分内容，不仅有助于考试，也能在实际生活中解决相关问题。通过不断练习，可以提高解题的速度和准确性。