【对数正态分布】在概率论与统计学中，对数正态分布是一种连续概率分布，其特点是随机变量的对数值服从正态分布。这种分布常用于描述那些只能取正值、且具有右偏特性的数据，如收入、房价、股票价格等。
一、定义
如果一个随机变量 $ X $ 满足：
$$
\ln(X) \sim N(\mu, \sigma^2)
$$
则称 $ X $ 服从对数正态分布，记作 $ X \sim \text{LogN}(\mu, \sigma^2) $。
其中：
- $ \mu $ 是对数均值（即 $ \ln(X) $ 的均值）
- $ \sigma $ 是对数标准差（即 $ \ln(X) $ 的标准差）
二、性质总结
| 属性 | 描述 |
| 定义 | 若 $ \ln(X) \sim N(\mu, \sigma^2) $，则 $ X \sim \text{LogN}(\mu, \sigma^2) $ |
| 支撑集 | $ (0, +\infty) $ |
| 概率密度函数 | $ f(x) = \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad x > 0 $ |
| 数学期望 | $ E[X] = e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}} $ |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = e^{2\mu + \sigma^2} (e^{\sigma^2} - 1) $ |
| 中位数 | $ e^{\mu} $ |
| 众数 | $ e^{\mu - \sigma^2} $ |
| 右偏性 | 对数正态分布是典型的右偏分布，长尾在右侧 |
三、应用场景
对数正态分布在多个领域都有广泛应用，包括但不限于：
- 金融：股票价格、资产回报率等通常被建模为对数正态分布。
- 工程：材料强度、寿命测试数据等也常符合该分布。
- 生物学：某些生物特征（如体重、身高）在特定条件下可能近似服从对数正态分布。
- 环境科学：污染物浓度、降雨量等自然现象也可能呈现对数正态特性。
四、与其他分布的关系
- 与正态分布的关系：对数正态分布是通过对正态分布进行指数变换得到的。
- 与伽马分布的关系：在某些情况下，对数正态分布可以作为伽马分布的近似。
五、注意事项
- 对数正态分布只适用于正实数范围内的数据。
- 数据若包含零或负值，则不能使用对数正态分布进行建模。
- 在实际应用中，需先对数据进行对数变换，再判断是否符合正态分布。
通过上述分析可以看出，对数正态分布是一种非常有用的统计模型，尤其适用于描述具有长尾和右偏特性的正数数据。理解其性质和适用条件，有助于在实际问题中更准确地进行数据分析和建模。