【多项式除以多项式怎么做】在代数学习中，多项式除以多项式是一个常见的运算，尤其在因式分解、简化表达式和解方程中有着广泛应用。掌握这一技能对于提高数学能力至关重要。以下是对“多项式除以多项式怎么做”的详细总结。
一、基本概念
- 多项式：由多个单项式通过加减法连接而成的代数式，如 $3x^2 + 2x - 1$。
- 多项式除法：将一个多项式（被除式）除以另一个非零多项式（除式），得到商式和余式的过程。
二、多项式除法的基本步骤
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 将被除式和除式都按降幂排列，缺项补0。 |
| 2 | 用被除式的首项除以除式的首项，得到商的第一项。 |
| 3 | 将该商项乘以整个除式，得到结果并从被除式中减去。 |
| 4 | 将差作为新的被除式，重复上述步骤，直到余式的次数小于除式的次数。 |
| 5 | 最终结果为商式加上余式除以除式的形式。 |
三、示例解析
题目：计算 $(x^3 - 2x^2 + x - 1) \div (x - 1)$
步骤如下：
1. 被除式：$x^3 - 2x^2 + x - 1$
除式：$x - 1$
2. 首项相除：$x^3 \div x = x^2$
乘以除式：$x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2$
减去：$(x^3 - 2x^2 + x - 1) - (x^3 - x^2) = -x^2 + x - 1$
3. 新的被除式：$-x^2 + x - 1$
首项相除：$-x^2 \div x = -x$
乘以除式：$-x \cdot (x - 1) = -x^2 + x$
减去：$(-x^2 + x - 1) - (-x^2 + x) = -1$
4. 余式为 $-1$，次数小于除式，结束。
结果：商为 $x^2 - x$，余式为 $-1$，即
$$
\frac{x^3 - 2x^2 + x - 1}{x - 1} = x^2 - x + \frac{-1}{x - 1}
$$
四、注意事项
- 若余式为0，则说明除式是被除式的因式。
- 多项式除法与整数除法类似，但需注意各项的符号和指数。
- 在实际操作中，可以使用长除法或综合除法（适用于一次式除式）来简化计算。
五、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 名称 | 多项式除以多项式 |
| 目的 | 分解多项式、简化表达式、求商与余式 |
| 方法 | 长除法、综合除法 |
| 步骤 | 排列、首项相除、乘法、减法、重复直至余式次数低于除式 |
| 注意事项 | 符号正确、指数对齐、余式为0时可判断因式关系 |
通过以上步骤和方法，可以系统地理解和掌握多项式除以多项式的技巧。建议多做练习题，加深理解，提升运算准确性和速度。