【多项式的系数和次数】在代数学习中，多项式是一个非常重要的概念。理解多项式的系数和次数有助于我们更好地分析和操作多项式表达式。以下是对多项式中系数与次数的总结，并通过表格形式进行清晰展示。
一、基本概念
1. 多项式：由多个单项式通过加减法连接而成的代数式。例如：$3x^2 + 5x - 7$ 是一个多项式。
2. 单项式：由数字与字母的乘积构成的代数式，如 $3x^2$、$-4y$、$7$ 等。
3. 系数：单项式中数字部分称为该项的系数，如 $3x^2$ 中的“3”是系数。
4. 次数：单项式中所有字母的指数之和称为该项的次数。若单项式只有常数，则次数为0。
二、多项式的次数
多项式的次数是指其中最高次项的次数。也就是说，找出多项式中所有单项式的次数，取最大的那个值作为整个多项式的次数。
例如：
- 多项式 $4x^3 + 2x^2 - x + 5$ 的最高次项是 $4x^3$，其次数为3，因此该多项式的次数为3。
- 多项式 $7x^2 - 6x + 1$ 的次数为2。
三、多项式的系数
多项式中每个单项式的数字部分即为该单项式的系数。需要注意的是：
- 若单项式前没有数字，则系数为1，如 $x^2$ 的系数为1。
- 若单项式前为负号，则系数为负数，如 $-3x$ 的系数为-3。
- 常数项（不含字母）的系数就是它本身，如 $5$ 的系数为5。
四、总结表格
| 多项式 | 各项及系数 | 次数 | 整体次数 |
| $3x^2 + 5x - 7$ | 3x² (3), 5x (5), -7 (-7) | 2, 1, 0 | 2 |
| $-4x^3 + 2x - 9$ | -4x³ (-4), 2x (2), -9 (-9) | 3, 1, 0 | 3 |
| $x^5 - x^3 + x$ | x⁵ (1), -x³ (-1), x (1) | 5, 3, 1 | 5 |
| $6$ | 6 (6) | 0 | 0 |
| $-2x^4 + 7x^2 - 3x + 1$ | -2x⁴ (-2), 7x² (7), -3x (-3), 1 (1) | 4, 2, 1, 0 | 4 |
五、注意事项
- 在判断多项式次数时，应先将多项式整理成标准形式（按降幂排列），再确定最高次项。
- 若多项式中存在多个相同次数的项，仍以该次数为准。
- 系数可以是正数、负数或零，但不能为分母。
通过以上内容，我们可以更清晰地掌握多项式中的系数与次数的概念及其应用方式，为后续学习多项式的加减、乘除等运算打下坚实基础。